Exercices types : somme et sev engendrés

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Contenu du cours

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^{4}$. Soient $u = \left(7,-17,15,17\right)$ , $v =\left( 2,-1,0,3\right)$ ,  $w = \left(-1,0,3,-4\right)$   et  $z = \left( 0,-7,9,2\right)$ des vecteurs de $E$.

Le vecteur $u$ appartient-il à Vect$(\{v, w, z \})$ ?

Exercice 2

Soit $E = \mathbb{R}^{3}$. On considère les vecteurs $u = (1, 2, 3) \textrm{ et } v = (3, 2, 1)$. Soit $(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}$. Trouver une condition sur $x, y \textrm{ et } z$ pour que $(x, y, z)$ appartienne à Vect$(\{u,v \})$.Exercice 3

On note $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.

Soit $F = \left\{f \in E, \displaystyle\int_{0}^{1} f(t)dt = 0\right\}$.

Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, puis en donner un espace vectoriel supplémentaire.